Hier habe ich ein paar einfach Aufgaben, deren Lösung höchstens einen Vormittag kosten sollten. Normalerweise reicht Schmierpapier, ein Bleistift und Ruhe. Die Unterhaltung mit Kollegen, Freunden oder Umstehenden hilft natürlich auch oft. Aber wichtig ist, dass es Spaß macht. Sollte der Spaß sich nicht einstellen, lasst es und schreibt mir warum und welche Aufgabe nervt.

Grenzwert, die Erste

Wer hier geschickt Null addiert, kann die Summe leicht umstellen und zeigen, dass sie für \$n \to \infty}\$ konvergiert. Mit ein wenig mehr Mühe sogar wo gegen.

\$a_{n} = \sum_{k=1}^{n} \frac{2k+1}{k^2(k+1)}\$

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Grenzwert, die Zweite

Ein Grund für mich Mathematik zu studieren, waren Texte in denen nach recht komplexen Formeln oder Rechnungen Sätze stehen wie:

  • Der geneigte Leser sieht leicht, dass …​

  • Leicht erkennt man, dass …​

  • Ohne Beschränkung der Allgemeinheit und nach kurzer Umformung ist klar, dass …​

und dann folgt ein auf den ersten Blick trivialer Ausdruck oder ein simples Ergebnis. Um dieses Ergebnis aber tatsächlich verstehen zu können bedarf es dann schon einiges an mathematischem Verständnis, mehrere Seiten A4 Papier und ein bis zwei Bleistifte.

Die folgende Aufgabe habe ich so kennengelernt und ist eine Aufgabe aus der Cambridge Examensprüfung von 1802 (in Worten: achtzehnhundertzwei).

Finde die Summe der folgenden Reihe:

\$\frac{1}{1 \cdot 2}+ \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 6} + \cdots\$

In meinem Lese(!)Buch stand dann noch eine kurze Ergänzung: Wenn man die Summanden in der Form \$\frac{1}{k(k+1)}\$ betrachtet, fällt der Lösungsweg sofort auf und der geneigte Leser erkennt schnell:

\$\frac{1}{1 \cdot 2}+ \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 6} + \cdots = 1\$

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Ein Bilderrätsel

Kreise und Zahlen und Farben? Was soll das?

CircleNumbers

"Zahlen in Kreisen mit verschiedenen Farben"
Denkt mal drüber nach und wer eine Idee hat, kann mir ja eine E-Mail schreiben. Ich würde mich sehr freuen.

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Dominosteine und Schachbretter

Ein Schachbrett hat 64 Felder, 32 weiße und 32 schwarze.

Schachbrett

"Ein schwarz-weißes Schachbrett"
Ein Dominostein hat zwei Felder, jeweils mit Punkten gekennzeichnet. Oder wie bei uns mit einer orangen und einer roten Seite Dominostein.

Wenn man die Größe der Dominosteine richtig wählt, kann man mit einem Stein genau zwei Felder auf dem Schachbrett abdecken. Leicht berechnet man wieviele Dominosteine benötigt werden, um das Schachbrett vollständig zu überdecken. Oder?

Nimmt man jetzt zwei Felder weg, zum Beispiel das Eckfeld oben rechts und das Eckfeld unten links, braucht man dann weniger Dominosteine, oder?

ReduziertesSchachbrett

"Ein schwarz-weißes Schachbrett ohne rechte obere und linke untere Ecke"
Neben der Frage nach der Anzahl von Dominosteinen, lohnt es sich noch über folgende Fragen nachzudenken:

  1. Warum gibt es eine Überdeckung?

  2. Gibt es immer eine Überdeckung?

  3. Wie sieht eine Überdeckung im ersten Fall aus?

  4. Wie sieht eine Überdeckung im reduzierten Fall aus?

  5. Wann und warum gibt es keine Überdeckung?

Viel Spaß bei Grübeln und wenn Ihr Antworten habt, schreibt mir doch bitte eine E-Mail. Ich bin sehr neugierig und gespannt.

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Ein Schläger und ein Ball

Ein Ball und ein Schläger kosten zusammen ein Euro und zehn Cent. Der Ball kostet zehn Cent mehr als der Schläger. Was kostet der Schläger?

Scheint trivial, aber eine zu schnelle Antwort ist in den meisten Fällen falsch. Haltet einen Augenblick inne und überlegt:

\$1. b + s = 110\$
\$2. s + 10 = b\$

Nicht wirklich schwer, aber doch unerwartet?

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